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2010年12月 3日 (金)

自分のためにちょっと書いておこうかと…。

すみません。なぜか今日もなんだかんだとバタバタしてしまい、あっという間に23時半を回ってしまいました…。今日はレッスン後にそんなにだらだらしなかったはずなんですけど、ホントなぜなんでしょう…。気付かないうちに意識を失っているんだろうか?(汗)

ですが、今日のレッスン後、明日の準備をしていたときにふと頭をよぎったことがあって、忘れないうちにちょっとここに覚書を。
本当にふと思いついた段階なので、それはただまどろっこしいだけになるかもしれないのですが…。(過去にも、子どもが考えているのを見て、あ、すごい!と思ったことがある気がするのですが、どうやらそのまま忘れていたもので…。)

子ども達とレッスンをしていて、どうやって導いたらテクニックとしてではなく、考えて解くことができるかの方法を考えるのが難しいトップに挙げられるかもしれない分数の割り算。それも、「分数÷整数」や「整数÷分数」はまだなんとかなるのですが、問題は「分数÷分数」。

これだけはこれまでもやや納得のいかない感じの残るまま、そもそも、分数自体が割り算を表しているのに、「割り算で割る」という日本語としても不自然なことをしているんだから、説明がつきづらくても仕方ないよなぁ…みたいに思っていました。

まあ、「そんなのまどろっこしい!分数の割り算はひっくり返してかけるって覚えたほうがいい」というご意見もあるでしょうし、それ自体は特に否定する気もないのです。
ただ、子ども達の中にはなぜそうするのかわからないとすっきりしない子がいるのも事実で、その際、考えた上で納得できる方法を見つけているかいないかはやはりかなり大きな違いになるように思うのです。

で、今日思いついた、もしくは過去の記憶がよみがえったのは、例えば「3/5÷2/7 (5分の3÷7分の2)」などのような問題の場合、「5分の3を7分の3ずつ分ける」という意味で考えた場合、1つ1つの大きさが異なるのでどうやって分けたらいいのかわからないということになるんだろうと思います。

例えばですが、「8/9÷2/9 (9分の8÷9分の2)」という問題であれば、「9分の8を9分の2ずつ分ける」と考えれば、答えは「4」と図などからもはっきりと理解できるはずです。
仮に「7/9÷2/9 (9分の7÷9分の2)」という問題だとすれば、こちらは割り切れませんが、3回半、つまり「7/2」が答えになるという辺りまでは、図を描いて考えれば、おおよそ理解はできるのではないかと思います。

ということは、異分母分数の割り算の説明がややこしいということになるわけで、それならば、同分母にすればいいだけなのではないかと。

先ほどの「3/5÷2/7 (5分の3÷7分の2)」であれば、5分の…と7分の…の大きさが違うからイメージがしづらいし、図にも表わしづらい。
それならば、両方を通分して、1つ分の大きさを同じにしてしまえばいいのだなと。

要するに「3/5÷2/7=21/35÷10/35」と変形し、35分の1が21個あると考え、21個を10個ずつ分けるとどうなるか考えるようにするということです。
この場合、2回取れて残りが10個のうちの1個、つまり2と1/10、要するに21/10となります。

もちろん面倒な作業ですから、ひっくり返してかければすぐに答えは出ます。
ただ、この作業を何度かさせた上で、式と答えを見比べさせて、何か気付くことはないかというふうに持っていく方が、遥かに記憶には定着しそうな気もします。

忘れないためにとりあえず書いたので、もうちょっとちゃんと考えてみようと思います。

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コメント

高校の数学Ⅱで登場する「繁分数(分母分子に分数がある分数)」ではそうします。
(私は、約分に対して「倍分」とか言っていますが、その言葉が正しいかどうかは怪しいところですけど。(苦笑))

例えば、(ちょっと入力が難しいのですが…)

  3
 ---
  5
------ は、分母分子に5と7の最小公倍数35をかけて
  2
 ---
  7


  21
 -----
  10

と一瞬に処理します。

何かの参考になればと思い、書き込ませていただきました。
(それにしても、算数は難しいです。(笑))

投稿: tanA | 2010年12月 4日 (土) 00時38分

tanA先生、ありがとうございます!
繁分数なんてものがあるのですね!?
私は高校数学は理系数学についていけず挫折したので、見た覚えがありません…。
でも、その繁分数とやらの姿って、まさに分数÷分数を分数の姿で表したものです
よね?(ちょっと意味不明ですか?(汗))
それ使えるかもなぁ。ちょっと考えてみよう。
教えてくださってありがとうございます!

投稿: TOH | 2010年12月 5日 (日) 00時18分

お久しぶりです。

何かの世間話の足しにでもなればと思い、PDF
ファイル添付のメールを送っておきました (^-^)/

投稿: uroko | 2010年12月 6日 (月) 17時46分

uroko先生、ご無沙汰致しております。
お忙しい中、コメントと貴重な資料ありがとうございます。
これ、以前にブログでご紹介くださっていたような記憶があるようなないような。
そのときに読ませて頂いた気がします。
最近激しく忘れっぽいので、またご紹介くださって感謝致します。

投稿: TOH | 2010年12月 6日 (月) 20時12分

分数÷分数の計算の考え方ですが、
次の考え方ではいかがでしょうか?

例題
(1/2)/(3/5)=5/6

効率的に計算する場合は
(1/2)/(3/5)=(1/2)*(5/3)=5/6
とすると早いです。

では、考え方ですが、
その1:「3/5で割るということ」に着目した考え方
3/5で割るということはどういうことでしょうか?
2や3のような整数で割るというイメージは
ケーキのカットをイメージすれば簡単ですが、
これは難しいです。
でも、整数で割るということは「1/整数」を
掛けるということをしているだけだとわかれば
同じように「1/分数」をすることと同じです。
つまり3/5で割るということは1/(3/5)=5/3を
掛けるということと同じだということがわかります。
言葉遊びみたいになってしまいましたが、
効率的な考え方がどのようにして
成り立っているかがわかります。

2.「分ける」という部分に着目する考え方
TOH先生やtanA先生が説明されている
繁微分の考え方に
もう少し付け加えて説明すると
まずはお互いの分子と分母の分数の分母の
最小公倍数が10ですよね。
そうすると
(1/2)/(3/5)=(1/10*5)/(1/10*6)
=5/6となります。
1/10をひとつのかたまりと考えれば
単純に5/6と解くことができます。

小数にするともう少し解りやすくなって
0.5/0.6はいくらかということになります。
(0.1*5)/(0.1*6)=5/6
分数と小数は切っても切れない関係なので
いっしょに覚えたほうが後々のためになると
思います。
もちろん、割り切れないものもあるので
全てには使えませんが、分数と小数の関連性を
覚えるのにはとても有効だと思います。

小数のことも話したかったので例題の数字を
変えてしまい解りにくくなってしまったら
もうしわけありません。

それにしても算数や数学はどうしてそうなるのかを
考えると非常に面白いものですね。

なにかのお役に立てば幸いです。

投稿: まる | 2010年12月 6日 (月) 21時38分

まるさん、コメントありがとうございます。
しかし、何度か読ませて頂いたのですが、ブログだと分数が表記しづらいことも含め、言ってくださっていることがぼんやりしか理解できていないような…。(汗)

それと、確かに自分の覚書として書いたんですけど、小学校3、4年生の子が図を描きながら理解できる方法を模索しているという感じなものですから、まるさんが教えてくださったのだと、私のイメージ的にはもう少し大きい子たちでないと無理かもしれないなぁと。

いや、そうじゃなくって、お前が理解できてないだけで小さい子でもわかるんだよ!ってことなのかもしれずそれはかなり不安ですが…。(汗)
でも、お忙しい中詳しいコメントを本当にありがとうございました!

投稿: TOH | 2010年12月 8日 (水) 00時49分

3年前の記事ですが、トラックバックしました<(_ _)>

投稿: SZK | 2010年12月 8日 (水) 02時55分

SZK先生、ご無沙汰していてすみません…。
コメント&トラバ、ありがとうございます。
トラバしてくださった記事は以前に読ませて頂いたような気がしますが、最近とみに物忘れが激しくなっているので、またご紹介くださってありがたいです。

ただ、まだ倍数とか約数とかそんなのも習っていない段階の子でも図などで理解できる方法ってないかなぁというところでもやもやしているものですから、皆さんが色々貴重なコメントをくださっても、まだもやもやしたままなんですが…。(汗)

ですが、お忙しい中わざわざ本当にありがとうございました!

投稿: TOH | 2010年12月 9日 (木) 01時23分

割り算の一番の意味「1あたり量を求める」ってことで、図を使って描くと、
12個あるみかんを3人で分ける。だと
○○○○
○○○○
●●●●
で、●が一人分だから、4個。
同様に分数で
2/3÷3/4は
○○○
●●●
●●●
これが「2/3」という「量」を表してます。
と同時に、「3/4」という「割合」でもあるわけです。
整数の問題でいうと、12個(量)=3人分(割合)
で、「割合の1にあたるのはどれだけ?」ということを求めるので、
○○○
●○○
●○○
これだけが「割合」「1/4」にあたることになります。求めたいのは、割合の1分なので、
これ4つ分。
よって、
●●○
●●●
●●●
で、「8/9」
なわけですが、
12個=3人分は理解しやすいと思いますが、
2/3(量)=3/4(割合)
は、概念として理解しにくいと思います。
割合の概念が身についてからじゃないと難しいかなあと思います。
6年生での単元ですから、急ぐもんでもないと思いますし。

投稿: SZK | 2010年12月 9日 (木) 21時28分

SZK先生、お忙しいのに再びご丁寧にありがとうございます!
実は…理系に憧れつつも理系になれなかった私には最初、先生のくださったコメントの内容がなかなか理解できずに悩んでいました…。(汗)
何度も読み返し、どうにかぼんやり理解できたような気がしたのですが、さすがにこれは低学年や4年生ぐらいだとまだキビシイかなぁと感じていました。
ですが、今朝ふと、先生が言ってくださっていることの意味やこれまで目にしたほかの先生方のブログや著書などで書かれていた記憶などが繋がって、ひとつ自分の中で消化できたような、多分先生が書いてくださったことの意味が正しく理解できたという気がしました。
お蔭で、子ども達に対してももう少しヒントや手がかりとして言えることが増えた気がします。
本当にありがとうございました!

投稿: TOH | 2010年12月12日 (日) 18時20分

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